Я пытаюсь проверить, не является ли первое текстовое поле не пустым, тогда необходимо указать следующее значение текстового поля.
Как мне добиться этого со стороны клиента?
Пожалуйста, советуйте.
Вы должны использовать JavaScript. Поместите следующий код в функцию в файле javascript и при необходимости вызовите эту функцию.
if( document.getElementById(Id-of-the-textbox1).value != null ){// then to this... }