Вы хотите поведение для ВСТАВКИ, но определили триггер для ОБНОВЛЕНИЯ.
В INSERT указано одно поле, но вы пытаетесь вставить 2 значения.
Вы заявляете, что хотите УДАЛИТЬ запись от клиента, но не имеете оператора УДАЛИТЬ.
Я воздержался от написания другого триггера для вас, потому что на самом деле я не уверен на 100%, чего вы пытаетесь достичь.
Не могли бы вы привести примеры, в том числе как должны выглядеть различные таблицы до и после различных действий?
EDIT
CREATE TRIGGER update_cus
ON customer
FOR insert AS
BEGIN
INSERT INTO new_customer (name, id)
SELECT name, id
FROM inserted
DELETE customer WHERE
id IN (SELECT id FROM deleted)
-- This assumes id is Unique, but as the table should normally be empty, that's fine.
END