Аппроксимация 2D-функции с весовыми коэффициентами

Question

Мне нужно аппроксимировать определяемую таблицей 2D-функцию следующим образом:

x0 y0
x1 y1
...
xn yn

для каждой точки, в которой у меня есть «вес» (среднеквадратическая ошибка для этой меры).Мне нужно написать такую ​​функцию:

typedef std::vector< double > DVector;
void approximate2D(
      const DVector & x
    , const DVector & y
    , const DVector & weights
    , double newMeasuredX
    , double newMeasuredY
    , double newMeasuredWeight
    , double & outApproximatedX
    , double & outApproximatedY
);

, чтобы получить одно значение (outApproximatedX; outApproximatedY), зависящее от предыдущих значений и нового измеренного значения.

Среднеквадратическую ошибку (RMS) следует использовать следующим образом: если ошибка RMS минимальна, то требуемая функция должна приближаться к этой точке, если ошибка RMS максимальна, тогда эта точка должна бытьиспользовать с минимальным вкладом.

Аппроксимация должна быть линейной (я думаю), поскольку я знаю, что нужной функцией является прямая линия.

Погуглил около половины дня, и не нашел никаких предложений.

Спасибо.

Answer 1

Чтобы минимизировать общее квадратичное расстояние до линии ax + на = r , вы не можете использовать матричные уравнения, так как проблема не вдлиннее линейного.

Расстояние до линии можно определить следующим образом.Тогда функция, которую вы хотите минимизировать, это f ( a , b , r ).Эта задача несколько упрощается, когда a ² + b ² = 1.

Если вы расширяете это, это становится довольно сложным.Мне удалось разбить его и несколько упростить.

Чтобы вычислить это по многим точкам ( O ( n * 1039)* 2 )) может стать медленным.Однако есть легкая оптимизация.Вместо того, чтобы вычислять суммы снова и снова, вы можете хранить частичные результаты:

Здесь переменные σ являются аккумуляторами для общих терминов.Каждый раз, когда вы хотите добавить еще одну точку в вычисления, вы обновляете 9 переменных и используете их для вычисления a , b и r , как и раньше.

Answer 2

Большое спасибо за MizardX. Отличная помощь. Вот что я написал (если кому-то нужно :))
http://liveworkspace.org/code/815e2cc0810ab8ef14951252cca3fbbf

P.S. Я не могу голосовать за MizardX (без репутации). Может ли кто-нибудь сделать это для меня?

Answer 3

То, что вы хотите, это кривая заполнения пространства, либо кривая Гильберта, либо кривая Пеано. SFC является хорошим приближением 2D или XD сетки.