Без объединений правильно будет следующее:
SELECT tags.id, tags.tag_name, COUNT(*) AS num_tags
FROM tags, examples_tags, examples
WHERE tags.id = examples_tags.tag_id
and examples_tags.example_id=examples.id
and examples.category = 'english examples'
GROUP BY tags.id, tags.tag_name
Вам нужно сгруппировать по всем неагрегированным полям.
В противном случае вы можете использовать внутреннее соединение, что делает запрос более читабельным:
SELECT tags.id, tags.tag_name, COUNT(*) AS num_tags
FROM tags
inner join examples_tags on examples_tags.tag_id=tags.id
inner join examples on examples_tags.example_id=examples.id
WHERE examples.category = 'english examples'
GROUP BY tags.id, tags.tag_name