Вы можете сделать это так:
Кнопка ">" Обработчик события:
if (this->leftListBoxName->SelectedItem != nullptr)
this->rightListBoxName->Items->Add(this->leftListBoxName->SelectedItem);
и кнопка «<» обработчик событий: </p>
if (this->rightListBoxName->SelectedItem != nullptr)
this->rightListBoxName->Items->RemoveAt(this->rightListBoxName->SelectedIndex);