Для настройки экрана только в первый раз, вы просто должны использовать SharedPreferences. Убедитесь, что в общих настройках уже есть значение, уже запущенное. Если нет, покажите экран настройки. Если да, покажите свое приложение.
Для второй части вашего вопроса было бы очень плохой практикой иметь значок приложения, который вообще ничего не делает, когда вы нажимаете на него. Как пользователь узнает, что он работает или сделал то, что должен был сделать?
Что касается «Я хочу, чтобы задача выполнилась, но я не хочу, чтобы пользователь видел, как это происходит», я полагаю, вам следует взглянуть на службы. Когда пользователь закрывает приложение, нажимая кнопку сохранения на экране настройки, запускает службу (http://developer.android.com/reference/android/app/Service.html)
Когда пользователь снова нажимает на ваше приложение, просто покажите сообщение и заставьте приложение вызвать службу через намерение.