Вы, безусловно, можете отлаживать апплет, запущенный во внешнем браузере, в eclipse.
В панели управления апплетом, на вкладке java, в параметрах среды выполнения
add
-Xdebug -Xnoagent -Xrunjdwp: transport = dt_socket, server = y, suspend = n, address = 8888
(где вы можете выбрать любой адрес, который вам нравится)
, затем в eclipse создайтеновая конфигурация отладки, то есть удаленное Java-приложение, и введите порт (8888), как указано выше.
Когда апплет запущен, запустите сеанс отладки.