В вашем примере есть несколько фундаментальных синтаксических ошибок, но да, производный класс содержит базовый класс в качестве подкласса, и поэтому каждый экземпляр любого производного класса будет содержать также все члены базового класса.
Если базовый класс открывает соединение с базой данных (но для этого требуется написать какой-то нетривиальный код, например конструктор), то это произойдет в любом производном экземпляре:
class Base
{
private $db; // maybe "protected"...
public function __construct() { $db = new mysqli; /* + connect! */ }
}
class Der1 extends Base
{
public function __construct() { parent::__construct(); }
}
// etc.