Можно ли обновить номер значка, не отправляя приложению push-уведомление?
Например, когда приложение загружено, вы можете изменить номер значка?
Да. Вы можете использовать это:
[[UIApplication sharedApplication] setApplicationIconBadgeNumber:3];
Это обновит значение без использования push-уведомления.