Вам необходимо применить сортировщик таблиц в том же обратном вызове, где вы строите таблицу. Вызов getJSON является асинхронным, и, как у вас сейчас, вы применяете TableSortor до того, как вызов завершится, и таблица будет построена.
$.getJSON('listnotice.php', function(data) {
var table = "";
$.each(data, function(index,entry) {
table += '<tr>';
table += '<td>' +entry["title"] + '</td>';
table += '<td>' +entry["content"] + '</td>';
table += '<td>' +entry["date"] + '</td>';
table += '</tr>';
});
table += "</tbody>";
$("#noticeList").append(table)
.tablesorter({debug: false, widgets: ['zebra'], sortList [[0,0]]}).tablesorterFilter({filterContainer: $("#filter-box"),
filterClearContainer: $("#filter-clear-button"),
filterColumns: [0],
filterCaseSensitive: false});
});