Я полагаю, что вы пытаетесь достичь чего-то подобного поведению синхронизации, но этого невозможно добиться, получив доступ к объекту локального хранилища с другого компьютера, потому что вы не можете этого сделать.
Вам нужно будет сохранить данные на удаленном сервере синхронизации, откуда ваше расширение получит данные. Затем он сохранит данные (синхронизирует) на том же удаленном сервере при редактировании.