Есть ли возможность добавить приложение в меню избранного (под аватаром пользователя) пользователя с помощью кнопки или диалогового окна js sdk?
Нет, нет API, позволяющего приложениям добавлять себя в раздел избранного закладок пользователя. Я полагаю, что это сделано намеренно, так как если бы приложения могли это делать, список стал бы менее аутентичным.