Вам нужно подписывать запросы, используя OAuth - обычно лучший способ сделать это - использовать библиотеку (как вы упомянули, библиотека python работает хорошо). Вы можете черпать HTTP-трафик, чтобы увидеть, какие дополнительные заголовки отправляются. Портал для разработчиков по адресу http://developer.linkedin.com содержит обзор OAuth, но было бы довольно сложно получить работающую реализацию для Curl, потому что каждая сгенерированная вами сигнатура будет отличаться (в зависимости от метки времени).