Для простого java String
Array вы должны попробовать
String arr_str [] = { "value1`", "value2", "value3" };
JSONArray arr_strJson = new JSONArray(Arrays.asList(arr_str));
System.out.println(arr_strJson.toString());
Если у вас есть универсальный ArrayList типа String, например ArrayList<String>
.тогда вы должны попробовать
ArrayList<String> obj_list = new ArrayList<>();
obj_list.add("value1");
obj_list.add("value2");
obj_list.add("value3");
JSONArray arr_strJson = new JSONArray(obj_list));
System.out.println(arr_strJson.toString());