Если вам просто нужно показать значок и текст в предупреждении, возможно, вы могли бы использовать API уведомлений HTML5 (расширение требует разрешения «уведомления»).
API уведомлений HTML - Подробнее
Еще одна вещь, которую вы можете сделать, это изменить значок browser_action / page_action на восклицательный знак или что-то в этом роде и рассчитывать, что пользователь увидит его и нажмет на него, а затем отобразит ваше сообщение во всплывающем окне.
Если ни один из этих вариантов не подходит вам, вам придется вставить HTML-код в открытую в данный момент вкладку. Это может ввести пользователей в заблуждение, что ваше расширение на самом деле принадлежит веб-сайту, на котором они находились.