Вы должны использовать document.getElementById () , а также генерировать строку внутри цикла и использовать внутренний html после цикла, чтобы предыдущий li не перезаписывался.
обновить порции кода как
n = (fav_characterList.length);
var kk="";
for(i = 0; i <= (n-1); i++){
var list = fav_characterList[i];
kk += "<li>"+list+"</li>"
}
var MyList = document.getElementById('results');
MyList.innerHTML = kk;
и в html удалите div внутри ul и предоставьте id для ul
<ul id="results">
</ul>
и вот полный код становится:
<html>
<head>
<img src="http://profperry.com/Classes20/JavaScript/lordoftherings.png" />
<title>Javascript Test</title>
<script type="text/javascript">
function askMe()
{
var fav_characterList = new Array();
i = 0;
var fav_character = "";
while(fav_character != 'exit')
{
fav_character = prompt("Who's your favorite Lord of the Rings character\n\n Enter 'exit' to stop prompting", "");
fav_characterList[i] = fav_character;
i++;
}
n = (fav_characterList.length);
var kk="";
for(i = 0; i <= (n-1); i++)
{
var list = fav_characterList[i];
kk += "<li>"+list+"</li>"
}
var MyList = document.getElementById('results');
MyList.innerHTML = kk;
}
</script>
</head>
<body onload="askMe()">
<ul id="results">
</ul>
<br/>
<br/>
</body>
</html>