Каковы собственные значения и расширения?

Question

Что такое собственные значения, векторы и расширения, и как разработчик алгоритма, как я могу их использовать?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я хочу знать, как вы использовали его в вашей программе, чтобы я понял. Спасибо.

Answer 1

они используются гораздо больше, чем матричная алгебра. примеры включают в себя:

• асимптотическое распределение состояний скрытой марковской модели задается левым собственным вектором, связанным с собственным значением единицы из матрицы перехода состояний.
• один из лучших и самых быстрых методов нахождения структуры сообщества в сети - это построение так называемой модульной матрицы (которая в основном заключается в том, насколько «удивительным» является соединение между двумя узлами), а затем знаки элементов Собственный вектор, связанный с наибольшим собственным значением, расскажет вам, как разделить сеть на два сообщества
• В принципе, при компонентном анализе вы, по существу, выбираете собственные векторы, связанные с k наибольшими собственными значениями, из n> = k размерной ковариационной матрицы ваших данных и проецируете свои данные в k-мерное подпространство. использование наибольших собственных значений гарантирует, что вы сохраняете измерения, которые являются наиболее значимыми для данных, поскольку они имеют наибольшую дисперсию.
• многие методы распознавания изображений (например, распознавание лиц) основаны на построении собственной базы на основе известных данных (большой набор лиц) и на том, насколько сложно восстановить целевое изображение, используя собственную базу - если это легко, то изображение цели, вероятно, будет из набора, который описывает собственный базис (то есть собственные грани легко восстанавливают грани, но не автомобили).
• Если вы занимаетесь научными вычислениями, собственными векторами квантового гамильтониана являются те состояния, которые являются стабильными, то есть если система находится в собственном состоянии в момент времени t1, то в момент времени t2> t1, если она не имеет был потревожен, он все еще будет в этом собственном государстве. Кроме того, собственный вектор, связанный с наименьшим собственным значением гамильтониана, является основным состоянием системы.

Answer 2

Собственные векторы и соответствующие собственные значения в основном используются для переключения между различными системами координат. Это может значительно упростить задачи и вычисления, переместив проблемную сферу из одной системы координат в другую.

Эта новая система координат имеет собственные векторы в качестве базовых векторов, то есть они "охватывают" эту систему координат. Поскольку их можно нормализовать, матрица преобразования из первой системы координат является «ортонормированной», то есть собственные векторы имеют величину 1 и перпендикулярны друг другу.

В преобразованной системе координат линейная операция A (матрица) является чисто диагональной. См. Спектральная теорема и Собственное разложение для получения дополнительной информации.

Например, вы можете сделать вывод из общей квадратичной кривой:

ax ^ 2 + 2bxy + cy ^ 2 + 2dx + 2fy + g = 0

переписать его как

AX ^ 2 + BY ^ 2 + C = 0

, где X и Y считаются вдоль направления собственных векторов.

Ура!

Answer 3

Используя обозначения, предпочитаемые физиками, если у нас есть оператор H, тогда |x> является собственным состоянием H тогда и только тогда, когда

H|x> = h|x>

, где мы называем h собственным значением, связанным с собственным вектором |x> в H.

(Здесь состояние системы может быть представлено матрицей, что делает эту математику изоморфной со всеми другими уже связанными выражениями.)

Что приводит нас к использованию этих вещей, как только они были обнаружены:

Полный набор собственных векторов системы при данном операторе образует ортогональное остовное множество для их системы . Этот набор может быть основой, если нет вырождения. Это очень полезно, поскольку допускает чрезвычайно компактные выражения произвольных (не собственных) состояний системы.

Answer 4

Собственные значения и векторы используются в матричных вычислениях как нахождение обратной матрицы. Поэтому, если вам нужно написать математический код, предварительный расчет может ускорить выполнение некоторых операций.

Короче, они вам нужны, если вы занимаетесь матричной алгеброй, линейной алгеброй и т. Д.

Answer 5

проверить http://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html

Использование собственных значений в алгоритмах потребует от вас умения разбираться в математике. Я совершенно не тот человек, чтобы говорить о математике: меня тошнит от этого.

ура, мл.