в браузере, если вы идете «просмотреть источник», вы можете увидеть текст ошибки, он может быть скрыт от обычного просмотра из-за недопустимого HTML
здесь, вероятно, одинарные кавычки, вызывающие синтаксическую ошибку.
$adduser= "INSERT INTO users set
user_name=$_POST['user_name'],
user_password=$_POST['user_password'],
user_mail =$_POST['user_mail']";
попробуйте это вместо этого (см. Одиночные кавычки в [] удалены, поскольку вся строка заключена в кавычки, это не требуется
$adduser= "INSERT INTO users set
user_name='$_POST[user_name]',
user_password='$_POST[user_password]',
user_mail = '$_POST[user_mail]'";
, как другие рекомендовали, вы должны дезинфицировать ваши sql пармы
как то так
$user_name = mysql_escape_string($_POST['user_name']);
$user_password = mysql_escape_string($_POST['user_password']);
$user_mail = mysql_escape_string($_POST['user_mail']);
$adduser= "INSERT INTO users set
user_name='$user_name',
user_password='$user_password',
user_mail = '$user_mail'";