Внутри ActivityA, когда вы хотите начать другое действие, вы делаете:
Intent intent = new Intent(this, Activity.B);
// pass the content of your EditText as parameter to the intent you use to start the other activity
intent.putExtra("string", editText.getText().toString();
startActivity(intent);
и в onCreate () ActivityB вы делаете что-то вроде
// retrieve the text and show it in the TextView
textView.setText(getIntent().getExtras().getString("string"));