Вы можете найти Adapter в HandlerAdapter, и эта часть имени происходит из шаблона Adapter. Адаптер - это мост между двумя объектами, а HandlerAdapter - мост между объектом-обработчиком и сервлетом-диспетчером.
Как видно из исходного кода HandlerAdapter, взятого из документации Spring, существует один метод - метод обработки с возвращаемым типом ModelAndView. Каждый HandlerAdapter будет реализовывать этот метод для делегирования HttpServletRequest и HttpServletResponse объекту-обработчику, поэтому объект-обработчик будет выполнять логику приложения, используя эти HttpServletRequest / Response.
public interface HandlerAdapter {
//Check if controller is supported
boolean supports(Object handler);
//handle request
ModelAndView handle(HttpServletRequest rqst,
HttpServletResponse rsp,
Object handler) throws Exception;
Выполнение этой логики приложения создает модель и представление. Представление может быть в форме имени представления String или View object. Модель содержит данные, которые будут использоваться для визуализации представления. HandlerAdapter обернет модель и представление в объект ModelAndView. Это задача сервлета диспетчера для обработки объекта ModelAndView.
Сервлет-диспетчер не знает об объекте-обработчике и освобождается от непосредственной обработки логики приложения. Объект-обработчик также освобожден от преобразования модели и представления в объект ModelAndView, поскольку HandlerAdapter выполнит эту задачу преобразования.