Пара вопросов здесь, chkItems определяется как длина 4, поэтому вы получите исключение, если попытаетесь поместить более 4 элементов. Исходный массив SelectedItems имеет тип объекта, поэтому вам нужно будет привести результат.
Предполагая, что вы помещаете только строки в список, который вы можете использовать (не забудьте сослаться на System.Linq)
string[] str = new string[4];
str[0] = txtID.Text;
str[1] = txtName.Text;
str[2] = txtEmail.Text;
string[] chkItems = ltbxInterests.SelectedItems.OfType<string>().ToArray();
Если вы хотите ограничить первые 4 элемента, вы можете заменить последнюю строкудо
string[] chkItems = ltbxInterests.SelectedItems.OfType<string>().Take(4).ToArray();
Также вы можете сократить код, чтобы использовать инициализатор массива (но это сделает длину строки 3, потому что у вас есть только 3 элемента):
string[] str = new [] {
txtID.Text,
txtName.Text,
txtEmail.Text,
}