У вас есть форма внутри формы, внешняя форма обрабатывается при отправке.
Также я бы предложил использовать библиотеку для ваших запросов ajax, я использую jQuery:
$('#secondForm').load('secondForm.html');
Измените ваш HTML, чтобы это работало:
<form method="POST" action="first.html" id="firstForm">
<input type="submit" value="Submit First">
</form>
<span id="secondForm"></span>
secondForm.html
<form method="POST" action="second.html" id="secondFormID"> <-- use a different ID
<input type="submit" value="Submit Second">
</form>