Свойство ControlToValidate
возвращает строку, относящуюся к идентификатору проверяемого элемента управления.Это то, что вы ищете?
Чтобы получить реальный валидатор, я думаю, вы захотите что-то вроде этого:
var validator = (BaseValidator)Page.Validators[0];
string controlToValidate = validator.ControlToValidate;