this.handler
не в той же области. Вы должны объявить это как:
MyObject.prototype.enableHandler = function() {
var button = document.getElementById("button");
button.onclick = this.handler;
}
Поскольку вы просто вызываете событие напрямую, вам не нужно заключать его в другую функцию.
Обновление на основе вашего комментария:
MyObject.prototype.enableHandler = function() {
var button = document.getElementById("button");
var $this = this;
button.onclick = function() {
$this.handler();
}
}
Вам необходимо создать локальную переменную, которая находится в той же области, что и анонимная функция.