Трудно понять логику

Question

Хорошо, поэтому я должен доказать следующее:

(p -> r) ^ (q -> r) |- p ^ q -> r

Я понимаю, почему это совершенно правильно, и я также понимаю правила естественного вывода. Чего я не понимаю, так это как я докажу это. Вот модель ответа:

1. (p -> r) ^ (q -> r) |- p ^ q -> r     premise
2. p ^ q                                 assumption
3. p                                     ^e 2
4. p -> r                                ^e 1
5. r                                     ->e 4,3
6. p ^ q -> r                            ->i 2,5

(e = elimination / i = introduction).

Может ли кто-нибудь предоставить мне ссылку или «тупое» объяснение? Я чувствую, что упускаю простую концепцию, из-за которой это трудно понять ...?

Например, в строке 4, почему для удаления -> требуется строка p из строки 3, где, как и в строке 3, вы можете удалить ^ q без использования q?

Я уверен, что это довольно просто, но мне кажется, что это не имеет смысла ...?

Answer 1

В строке 2 у вас есть p ^ q, что означает, что оба значения p и q имеют значение true. Из этого следует, что p верно, потому что, если оба они верны, то любой из них также верно.

В строке 4 r имеет значение true, только если p имеет значение true. И в строке 3 у вас есть, что p верно. Следовательно, r также верно.

Answer 2

Вы можете удалить ^ q, не используя q, потому что p ^ q означает p И q - p истинно независимо от q.

Вы не можете удалить p -> без использования p, потому что p -> r означает, что p IMPLIES r - r гарантированно будет истинным, только если p также равно.