Нет, вам не нужно копировать поток.Просто держите ссылку на Поток откуда-то еще и позвольте ExblyObject выйти из области видимости.
Возможно, вы захотите внедрить IDisposable на свой ExblyObject и явным образом избавиться от него (хотя это взаимоисключающий WRT, который выходит из области видимости ExbodyObject):
public class ExpensiveObject(HttpContext context, ....) : IDisposable
{
public Stream OnlyCareAboutThisStream { get; private set; }
}
...
Stream myStream = null;
using (var exObj = new ExpensiveObject(context))
{
myStream = exObj.OnlyCareAboutThisStream;
}