Краткое резюме : Как быстро рассчитать конечную свертку двух массивов?
Описание проблемы
Я пытаюсь получить конечную свертку двух функций f (x), g (x), определенных как
Для этого я взял дискретные выборки функций и превратил их в массивы длины steps:
xarray = [x * i / steps for i in range(steps)]
farray = [f(x) for x in xarray]
garray = [g(x) for x in xarray]
Затем я попытался вычислить свертку, используя функцию scipy.signal.convolve. Эта функция дает те же результаты, что и алгоритм conv, предложенный здесь . Однако результаты значительно отличаются от аналитических решений. Изменение алгоритма conv для использования правила трапеции дает желаемые результаты.
Для иллюстрации приведу
f(x) = exp(-x)
g(x) = 2 * exp(-2 * x)
результаты:
Здесь Riemann представляет простую сумму Римана, trapezoidal представляет собой модифицированную версию алгоритма Римана для использования правила трапеции, scipy.signal.convolve является функцией Сципи и analytical является аналитической сверткой.
Теперь позвольте g(x) = x^2 * exp(-x) и результаты станут:
Здесь «коэффициент» - это отношение значений, полученных от scipy к аналитическим значениям. Вышесказанное демонстрирует, что проблема не может быть решена путем перенормировки интеграла.
Вопрос
Можно ли использовать скорость scipy, но сохранить лучшие результаты трапециевидного правила, или мне нужно написать расширение C для достижения желаемых результатов?
Пример
Просто скопируйте и вставьте код ниже, чтобы увидеть проблему, с которой я столкнулся. Два результата можно приблизить, увеличив переменную steps. Я считаю, что проблема связана с артефактами из правых римановых сумм, потому что интеграл переоценивается, когда он увеличивается, и снова приближается к аналитическому решению, когда он уменьшается.
РЕДАКТИРОВАТЬ : Теперь я включил оригинальный алгоритм 2 в качестве сравнения, которое дает те же результаты, что и функция scipy.signal.convolve.
import numpy as np
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt
import math
def convolveoriginal(x, y):
'''
The original algorithm from http://www.physics.rutgers.edu/~masud/computing/WPark_recipes_in_python.html.
'''
P, Q, N = len(x), len(y), len(x) + len(y) - 1
z = []
for k in range(N):
t, lower, upper = 0, max(0, k - (Q - 1)), min(P - 1, k)
for i in range(lower, upper + 1):
t = t + x[i] * y[k - i]
z.append(t)
return np.array(z) #Modified to include conversion to numpy array
def convolve(y1, y2, dx = None):
'''
Compute the finite convolution of two signals of equal length.
@param y1: First signal.
@param y2: Second signal.
@param dx: [optional] Integration step width.
@note: Based on the algorithm at http://www.physics.rutgers.edu/~masud/computing/WPark_recipes_in_python.html.
'''
P = len(y1) #Determine the length of the signal
z = [] #Create a list of convolution values
for k in range(P):
t = 0
lower = max(0, k - (P - 1))
upper = min(P - 1, k)
for i in range(lower, upper):
t += (y1[i] * y2[k - i] + y1[i + 1] * y2[k - (i + 1)]) / 2
z.append(t)
z = np.array(z) #Convert to a numpy array
if dx != None: #Is a step width specified?
z *= dx
return z
steps = 50 #Number of integration steps
maxtime = 5 #Maximum time
dt = float(maxtime) / steps #Obtain the width of a time step
time = [dt * i for i in range (steps)] #Create an array of times
exp1 = [math.exp(-t) for t in time] #Create an array of function values
exp2 = [2 * math.exp(-2 * t) for t in time]
#Calculate the analytical expression
analytical = [2 * math.exp(-2 * t) * (-1 + math.exp(t)) for t in time]
#Calculate the trapezoidal convolution
trapezoidal = convolve(exp1, exp2, dt)
#Calculate the scipy convolution
sci = signal.convolve(exp1, exp2, mode = 'full')
#Slice the first half to obtain the causal convolution and multiply by dt
#to account for the step width
sci = sci[0:steps] * dt
#Calculate the convolution using the original Riemann sum algorithm
riemann = convolveoriginal(exp1, exp2)
riemann = riemann[0:steps] * dt
#Plot
plt.plot(time, analytical, label = 'analytical')
plt.plot(time, trapezoidal, 'o', label = 'trapezoidal')
plt.plot(time, riemann, 'o', label = 'Riemann')
plt.plot(time, sci, '.', label = 'scipy.signal.convolve')
plt.legend()
plt.show()
Спасибо за ваше время!