Я просматривал источник конструктора, который вы используете с Reflector, и нет места, где они устанавливают имя файла.
Но вы, вероятно, можете получить имя файла, используя
var fileName = Request.Files[0].FileName;
Это только этот конструктор, который устанавливает свойство имени файла:
public WebImage(string filePath)
: this(new HttpContextWrapper(HttpContext.Current), filePath) {}
и, конечно, частный, который он использует.