Как выполнить сложную замену переменных для полинома (в Mathematica) - PullRequest
Новая
       29

Как выполнить сложную замену переменных для полинома (в Mathematica)

13 голосов
/ 20 мая 2011

У меня есть целочисленный полином от четырех переменных (w, x, y и z), который, как я знаю, может быть записан как целочисленный полином от этих шести переменных:

  • a = wz
  • b = xy
  • c = w ^ 3 + z ^ 3
  • d = x + y
  • e = w ^ 3 x + yz ^ 3
  • f = w ^ 3 y + xz ^ 3

Как я могу использовать Mathematica (или, может быть, Java), чтобы легко сделать это изменение переменных?

1 Ответ

15 голосов
/ 20 мая 2011

Такое переписывание может быть выполнено путем формирования базиса Гребнера заменяющих полиномов по отношению к переменному порядку, который благоприятствует использованию af над wz.Затем используйте PolynomialReduce относительно того же порядка, чтобы переписать ваш полином.

Вот пример.Я начну с правил замены, чтобы я мог построить многочлен так, чтобы мы знали ожидаемый результат. 

reprules = {a -> w*z, b -> x*y, c -> (w^3 + z^3), 
 d -> (x + y), e -> (w^3*x + y*z^3), f -> (w^3*y + x*z^3)};

Теперь преобразуем в полиномиальные отношения. 

reppolys = Apply[Subtract, reprules, 1];

Здесь мы создаем пример. 

poly = 
 a^2*b + 3*b^2*c^3 - 2*d*e*f + 11*b*f^2 - 5 a*d^2*e /. reprules // Expand

Out[11]= -2*w^6*x^2*y - 2*w^6*x*y^2 + 3*w^9*x^2*y^2 + 11*w^6*x*y^3 - 
  5*w^4*x^3*z - 10*w^4*x^2*y*z - 5*w^4*x*y^2*z + w^2*x*y*z^2 - 2*w^3*x^3*z^3 - 
  2*w^3*x^2*y*z^3 - 2*w^3*x*y^2*z^3 + 22*w^3*x^2*y^2*z^3 + 9*w^6*x^2*y^2*z^3 - 
  2*w^3*y^3*z^3 - 5*w*x^2*y*z^4 - 10*w*x*y^2*z^4 - 5*w*y^3*z^4 -
  2*x^2*y*z^6 + 11*x^3*y*z^6 - 2*x*y^2*z^6 + 9*w^3*x^2*y^2*z^6 + 3*x^2*y^2*z^9

Сформируйте базис Гребнера, упомянутый выше. 

gb = GroebnerBasis[reppolys, {w, x, y, z, a, b, c, d, e, f}];

Используйте его, чтобы уменьшить наш ввод для восстановления ожидаемого результата. 

PolynomialReduce[poly, 
  gb, {w, x, y, z, a, b, c, d, e, f}][[2]]

Out[12]= a^2*b + 3*b^2*c^3 - 5*a*d^2*e - 2*d*e*f + 11*b*f^2

---edit ---

Комментарий спрашивает об описаниях баз Гребнера.Для моего собственного понимания функциональности Mathematica есть пожилая статья о TMJ.Может быть найден в

http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/2179/

Среди лучших книг, связанных с этой темой, есть текст серии UTM

Идеалы, Разновидности и Алгоритмы по Коксу, Лотлу,и О'Ши.

Введение в основы Грёбнера Адамса и Люстаунау (AMS) также весьма неплохо.

--- конец правка ---

Даниэль Лихтблау

...