Обнаружение браузера не сложно (хотя обычно не рекомендуется и иногда неточно). Если вы знакомы с modernizr, вы должны знать, что обнаружение функций - это гораздо более удобный и точный механизм определения поведения, которое вы должны использовать в браузере хоста. Для фактического определения браузера (опять же, не рекомендуется), я бы рекомендовал прочитать эту статью Mozilla: https://developer.mozilla.org/En/Browser_Detection_and_Cross_Browser_Support.
Для установки класса это намного проще. Чтобы установить класс для объекта body, вы просто должны сделать это:
document.body.className = "xxxx";
или чтобы добавить класс, вы должны использовать это:
document.body.className += " xxxxx";