Если у них установлен SDK, просто подключите телефон и выполните:
adb logcat -d > logcat.txt
Я не думаю, что на ОС Android есть готовое решение для того, что вы хотите. Это было бы угрозой безопасности ИМХО. Там может быть приложение.
Вы можете найти тему об этом здесь: http://forum.xda -developers.com / showthread.php? T = 543128
Способ справиться с этим заключается в том, что когда в приложении происходит сбой или происходит сбой при выполнении чего-либо (try..catch или if ...), вы можете затем сохранить стек в файл, который пользователи могут отправить вам, или отправить его автоматически на ваш сервер (вы должны предупреждать пользователей, конечно)
EDIT:
Как сказано в другом ответе "для этого есть приложение": https://market.android.com/details?id=org.jtb.alogcat
Это также может быть полезно: https://market.android.com/details?id=net.robotmedia.bugreporter
Приложение, которое действительно для отчетов об ошибках.
РЕДАКТИРОВАТЬ 2:
Я ошибся, вы можете поймать logcat из вашего приложения:
Process logcat = Runtime.getRuntime().exec("logcat"); // start process
BufferedReader reader = new BufferedReader( new InputStreamReader(logcat.getInputStream())); // grab output stream
Это должно быть сделано в отдельном потоке.