Понимание ошибок представления с плавающей точкой;что не так с моим мышлением?

Question

У меня возникли проблемы с пониманием, почему некоторые цифры не могут быть представлены числом с плавающей запятой.

Как мы знаем, нормальное число с плавающей точкой будет иметь бит знака, показатель степени и мантиссу.Почему, например, 0,1 нельзя точно представить в этой системе;я думаю, что вы положите 10 (1010 в мусорное ведро) на мантиссу и -2 на показатель степени.Насколько я знаю, оба числа могут быть точно представлены в мантиссе и экспоненте.Так почему же мы не можем точно представить 0,1?

Answer 1

Если ваш показатель степени десятичный (т. Е. Он представляет 10 ^ X), вы можете точно представить 0,1 - однако большинство форматов с плавающей запятой используют двоичные показатели (то есть они представляют 2 ^ X). Поскольку нет целых чисел X и Y, таких как Y * (2 ^ X) = 0.1, вы не можете точно представить 0,1 в большинстве форматов с плавающей запятой.

Некоторые языки имеют типы с обоими показателями. В C #, например, существует тип данных с точным именем decimal, который является форматом с плавающей запятой с десятичной экспонентой, поэтому он будет поддерживать сохранение числа типа 0,1, хотя имеет и другие необычные свойства: тип decimal может различать между 0.1 и 0.10, и всегда верно, что x + 1 != x для всех значений x.

Однако для наиболее распространенных целей C # также имеет типы float и double с плавающей запятой, которые не могут точно хранить 0,1, поскольку они используют двоичный показатель степени (как определено в IEEE-754). Бинарные типы с плавающей запятой используют меньше памяти, быстрее, потому что их легче реализовать, и для них определено больше операций. В общем случае decimal используется только для финансовых значений, где важно точное представление всех десятичных значений, а хранение, скорость и диапазон операций не имеют значения.

Answer 2

Вы должны начать читать Что должен знать каждый учёный об арифметике с плавающей точкой

Ознакомьтесь с:

• Учебное пособие по числам с плавающей точкой
• Учебное пособие: двоичные числа с плавающей запятой

Answer 3

Каждое число с плавающей точкой в ​​стандарте IEEE 754, по сути, представляет собой некоторое целое число, умноженное на некоторое целое число, равное двум.Например, 3 представлен 3 * 2 ⁰ , 96 представлен 3 * 2 ³ , а 3/16 представлен 3 * 2 ^-4 .

Нет таких целых чисел x и y, что .1 = x * 2 ^y , поэтому .1 не может быть точно представлен числом с плавающей запятой.Доказательство: если .1 = x * 2 ^y , то 10x = 2 ^-y .2 ^-y явно положительно, поэтому x положительно.Это также целое число, поэтому 10x делится на 10, поэтому оно делится на 5. Поэтому 2 ^-y - это степень двойки, которая делится на 5, что явно невозможно.

Answer 4

Это будет 10 × 2 ^-1 = 5, а не 0,1.

Обычно это похоже на представление одной трети в базовой десятке: просто невозможно с конечным числом цифр.

Кстати, 10 ₁₀ = 1010 ₂ ≠ 1100 ₂ .

Answer 5

Вы думаете о 1 * 10 ^ -1, который работает для представления десятичного с плавающей точкой , такого как десятичное в C #.Нормальная с плавающей точкой (например, float, double) использует двоичное представление, т. Е. С степенями 2

Обычно двоичные данные используются, поскольку они могут быть более эффективно скомпонованы в битах.Десятичная дробь обычно используется, когда требуется абсолютная десятичная точность, например, при подсчете денег.