Насколько мне известно, вы могли бы использовать совсем другой стек HTTP.
На всех поддерживаемых в настоящее время платформах Windows установлен компонент WinHTTP. Этот компонент предназначен для облегченного использования сервера и в результате не использует локальный кеш или хранилище файлов cookie. IOW, если вы получите Set-Cookie в ответе, вам нужно будет вручную добавить этот cookie в последующие запросы, если он вам нужен, в противном случае cookie просто теряется.
Откройте ссылки на ваш проект VB6 и ссылку «Microsoft WinHTTP Services, версия 5.1».