К сожалению, у вас не так много вариантов, так как вы использовали старую технологию веб-сервиса ASMX. Единственные способы аутентификации кого-либо с помощью веб-сервисов ASMX через Интернет, по сути, сводятся к «сделай сам».
Если бы мне пришлось это сделать, я бы использовал WCF и дал бы себе несколько вариантов. Если бы я не мог использовать WCF, я бы создал собственный заголовок HTTP, чтобы передать имя пользователя и пароль (через SSL!), И аутентифицировать их на сервере. С другой стороны, я бы использовал сертификаты на клиенте и потребовал бы их отправки на сервер. IIS может даже превратить клиентские сертификаты в удостоверения Windows на сервере.