Приложения плотной линейной алгебры

Question

Каковы общие практические применения Плотной линейной алгебры ?

Многие проблемы могут быть легко описаны и эффективно вычислены с использованием линейной алгебры в качестве общего языка между человеком и компьютером.Чаще всего эти системы требуют решения разреженных матриц , а не плотных .Какие распространенные приложения не подпадают под действие этого правила?

Мне любопытно, стоит ли сообществу тратить дополнительное время на усовершенствование пакетов DLA, таких как LAPACK .Кто использует LAPACK в вычислительно ограниченном приложении?Кто использует LAPACK для решения больших задач, требующих параллелизма?

В частности, какие проблемы не могут быть решены сегодня из-за недостаточных возможностей плотной линейной алгебры.

Answer 1

Это зависит от того, что вы подразумеваете под реальным миром. Реальный мир для меня - это физика, поэтому я сначала расскажу вам по физике, а затем разветвлю В физике нам часто приходится находить собственные значения и собственные векторы матрицы, называемой гамильтонианом (она в основном содержит информацию об энергии системы). Эти матрицы могут быть плотными, по крайней мере, в блоках. Эти блоки могут быть довольно большими. Это поднимает другой вопрос: разреженные матрицы могут быть плотными в блоках, и тогда лучше использовать плотный линейный решатель алгебры для каждого из блоков.

Существует также нечто, называемое матрицей плотности системы. Его можно найти с помощью собственных векторов гамильтониана. В одном алгоритме, который я использую, мы часто находим собственные векторы / значения этих матриц плотности, а матрицы плотности плотные, по крайней мере, в блоках.

Плотная линейная алгебра используется также в материаловедении и гидродинамике, как упоминалось в этой статье . Это также относится к квантовой химии, которая является еще одной областью, в которой они используются.

Процедуры плотной линейной алгебры также использовались, чтобы решить квантовое рассеяние заряженных частиц (это не сказано в связанной статье, но оно использовалось) и проанализировать Космическая Микроволновая печь Фон . В более широком смысле он используется для решения совокупности электромагнитных проблем , связанных с реальными вещами, такими как проектирование антенн, проектирование медицинского оборудования и определение / уменьшение радиолокационной сигнатуры самолета.

Другое очень реальное применение - это аппроксимация кривой. Однако есть и другие способы сделать это, кроме использования линейной алгебры, которая имеет более широкий охват.

Таким образом, плотная линейная алгебра используется в различных приложениях, большинство из которых связаны с наукой или техникой.

Как примечание, многие люди ранее и в настоящее время прилагают большие усилия к библиотекам плотной линейной алгебры, в том числе к тем, которые используют графические карты для вычислений.

Answer 2

В некотором смысле особый случай примера Эндрю Кона, но фильтры Калмана , например, здесь обычно имеют ковариационную матрицу ошибок плотного состояния, хотя матрица модели наблюдения и матрицы перехода могут быть разреженными.

Answer 3

Разреженные решатели могут быть более полезны в долгосрочной перспективе, но плотная линейная алгебра имеет решающее значение для разработки разреженных решателей, и им нельзя пренебрегать:

• Плотные системы часто прощеобласть, в которой нужно заниматься алгоритмической разработкой, потому что беспокоиться не о чем.
• Размер, при котором разреженные решатели становятся быстрее, чем лучшие плотные решатели (даже для очень разреженных матриц), намного больше, чем думает большинствоэто так.
• Самые быстрые разреженные решатели обычно построены на самых быстрых плотных операциях линейной алгебры.

Answer 4

Многие методы для линейной регрессии требуют тяжелой работы с большими плотными матрицами данных. Самый простой пример, который я могу вспомнить, - это линейных наименьших квадратов с использованием псевдообратной кривой Мура-Пенроуза .