Свойство rules объекта validate работает со свойством name элемента, а не id, поэтому код вашего скрипта должен быть:
<script>
$(document).ready(function() {
$("#newsletter").validate({
rules: {
"newsletter-input":{
email: true
}
}
});
});
</script>
Обратите внимание - не _.
Также стоит отметить, что из-за дефиса в имени поля, который не является допустимым идентификатором javascript, вам нужно указать имя поля в кавычках, чтобы правило работало.
Лично я бы не использовал тире в свойствах name и id и использовал бы вместо этого Camel case