Довольно просто на самом деле. Извлечение только значения требует, чтобы вы использовали группу захвата в регулярном выражении для сопоставления содержимого между кавычками, а затем извлекли значение этой группы захвата после успешного сопоставления. Предполагая, что строка в кавычках, присваиваемая переменной, может содержать экранированные символы (включая экранированные двойные кавычки), тогда должен работать следующий протестированный код:
var re = /\bvar\s+my_variable\s+=\s+"([^"\\]*(?:\\[\Ss][^"\\]*)*)"/;
var results = text.match(re);
var content = results ? results[1] : null;