Возможно, вам просто нужно экранировать \
в начале вашего пути:
File.Exists("\\\\102.102.112.250\\some_pictures\\" + apicturename + ".jpg")
В качестве альтернативы вы можете использовать:
File.Exists(@"\\102.102.112.250\some_pictures\" + apicturename + ".jpg")
Что немного прощепрочитайте, поскольку вам не нужно экранировать \
в дословной строке.