Я думаю, что самый простой способ (и работающий во всех браузерах) - это наблюдать за клавишами, нажимаемыми пользователем, и, если он нажимает CTRL + C, сохранить некоторые данные, которые вы хотите скопировать, в некоторую переменную.
Я имею в виду что-то вроде этого:
var myClipboardVariable;
document.onkeyup = function(e){
if ((e.key == 'c') && e.ctrlKey){
// save data (you want to copy) into variable
myClipboardVariable = ....//some data
}
if ((e.key == 'v') && e.ctrlKey){
// paste saved data
.... paste your data from variable myClipboardVariable
}
}