Позволяет ли API Facebook приложениям находить близлежащие места / POI без необходимости предоставления токена доступа пользователя, но только с ключом приложения?
Да, конечно.
http://developers.facebook.com/tools/explorer?method=GET&path=search%3Fq%3Dstation%26type%3Dplace%26center%3D37.76%2C-122.427%26distance%3D1000
Поместите токен доступа к своему приложению в поле токена доступа и нажмите «Отправить».