Вам определенно нужно будет использовать JavaScript для этого. Ну, есть и другие языки на стороне клиента, которые технически могут выполнить эту работу (например, ActionScript), но JavaScript, безусловно, лучший путь.
Посмотрите на AJAX (асинхронный JavaScript и XML). Это просто модный способ сказать, что используйте объект XMLHttpRequest () для выполнения запросов к страницам с помощью JavaScript без перезагрузки страницы. Вот хороший учебник: http://www.w3schools.com/ajax/default.asp. Обратите внимание, что, несмотря на то, что в заголовке есть слово «XML», вам вовсе не обязательно использовать XML, а во многих случаях вы не будете его использовать.
То, что вы в основном будете делать, это:
Ваши кнопки «вверх» и «вниз» связаны с функцией JavaScript (передавая, нравится это или не нравится через аргумент функции).
В этой функции отправьте запрос на другую страницу, которую вы создаете (PHP-скрипт), в которой записано «нравится / не нравится». При желании, PHP-скрипт может отображать новые итоги голосования.
(необязательно) Если вы решили, что ваш PHP-скрипт выводит новые результаты, вы можете прочитать это в JavaScript. Вы получите точный текст вывода страницы PHP-скрипта, так что планируйте заранее в соответствии с этим - вы можете сделать так, чтобы PHP-скрипт выводил новые итоги голосования в удобной для пользователя форме, а затем просто замените JavaScript на определенный div на этот вывод, например.