Нет, localStorage и sessionStorage не определены в процессе веб-работника.
Вам нужно будет вызвать postMessage()
обратно к исходному коду Worker, и этот код сохранит данные в localStorage.
Интересно, что веб-работник может использовать вызов AJAX для отправки / получения информации на сервер или с него, так что это может открыть возможности в зависимости от того, что вы пытаетесь сделать.