Я хочу захватить событие закрытия окна (красный X справа вверху). Я хочу отобразить указанное окно в этом окне в зависимости от события.
Зарегистрируйте WindowListener - в частности, используйте его windowClosing метод:
WindowListener
windowClosing
Вызывается, когда пользователь пытается закрыть окно изСистемное меню окна.
Вам необходимо либо реализовать интерфейс WindowListener, либо зарегистрировать WindowAdapter.
WindowAdapter