Вы не можете вызвать этот значок самостоятельно.
Значок обновляется, как только пользователь открывает App Store, и магазин проверяет наличие обновлений для всех установленных приложений. Если есть обновления, App Store сам обновит этот значок.
Нет центрального экземпляра, который запускает этот значок, особенно если он не "прикреплен" к push-уведомлениям.