Конструкция $[expression] используется для арифметики; $[1+1], например, возвращает 2. Вы также можете сказать $((expression)) или expr 1 + 1. Версия команды expr является старой школой и должна работать в любой оболочке, версии $[expression] и $((expression)) работают в bash, но я не уверен, распространяется ли она на POSIX.
Обновление: Форма $[expression] является расширением bash, форма $((expression)) указана для оболочки POSIX.