Используйте SharedPreferences.
При изменении фона:
getSharedPreferences("background", MODE_PRIVATE).edit().putString("background","background_nr_1").commit();
или
getSharedPreferences("background", MODE_PRIVATE).edit().putString("background","background_nr_2").commit();
и так далее.Это сохранит строку, описывающую ваш текущий фон, в sharedPreferences.
В методе onCreate вам нужно указать:
String back = getSharedPreferences("background", MODE_PRIVATE).getString("background");
Это вернет вам "background_nr_x".Теперь вы можете выбрать фон:
if (back.equals("background_nr_1") { // set the Background associated with nr_1
else if (.... "nr_2") ...
Примечание: это восстановит текущий выбранный фон, даже если приложение было закрыто.