Существуют ли ограничения при переходе от двоичного к десятичному (так же, как при переходе от десятичного к двоичному)?

Question

Как мы все знаем, не все десятичные числа могут быть представлены в двоичном виде (с конечным числом цифр).

Мне интересно, могут ли все (конечные) двоичные числабыть представленными с помощью (конечного числа) десятичных цифр?Я подозреваю, что так как все «примитивы» в двоичном виде («0,5», «0,125» и т. Д.) Могут быть представлены конечным числом десятичных цифр.

Итак, мой вопрос заключается в следующем: что характеризует"совместимая замена базы"?То есть, какие математические свойства имеют место для « База 2 → База 10 », но не сохраняются для « База 10 → База 2 »?

формально: Какими свойствами должны обладать N и M , чтобы все конечные числа Base-N имели соответствующее конечное число Base-M?)

Answer 1

Если n является двоичной дробью, то n = a / 2 ^k для целых чисел a и k .

Это означает, что n = ( a · 5 ^k ) / (2 ^k · 5 ^k ) = ( a · 5 ^k ) / 10 ^k

Таким образом, каждая двоичная дробь является десятичной дробью.

Inв общем случае каждая дробь к основанию N также является дробью к основанию M тогда и только тогда, когда N делит M ^k для некоторых k (или, что эквивалентно, если каждый простой множитель N также является простым фактором M ),Аргумент, аналогичный приведенному выше для 2 и 10, обрабатывает направление «если».Для направления «только если», вот вам набросок доказательства для заполнения: предположим, что 1 / N = a / M ^k , затем M ^k = a · N , следовательно N делит M ^k .

Таким образом, двоичный код можно преобразовать в десятичную без потерь, поскольку 2 - это коэффициент 10, нодесятичная дробь не может быть преобразована в двоичную без потерь, потому что 5 - это коэффициент 10, но не коэффициент 2.