В Java вы можете сделать это следующим образом:
s = s.replaceAll("\"",""),replaceAll("'","")
Также, если вы хотите заменить только кавычки «Начало» и «Конец», вы можете сделать что-то вроде:
s = s.replace("^'", "").replace("'$", "").replace("^\"", "").replace("\"$", "");
ИЛИ если проще сказать:
s = s.replaceAll("^\"|\"$", "").replaceAll("^'|'$", "");