Для стандартного API Twitter вы не можете этого сделать, вы можете получать твиты только с определенного идентификатора твита, и даже тогда вы ограничены тем, сколько твитов вы можете вернуть.
ДляAPI поиска, я попробовал несколько методов, используя параметр until
, но не смог извлечь из него ничего полезного.