Я думал, что "(двойные кавычки) должны заменить переменную ее значением.
Это работает только в том случае, если вы указали строку в своем коде. Если строка пришла извне - она не имеет такого магического поведения.
Таким образом, единственное решение, с которым вы могли бы пойти, это:
echo str_replace('$domain_name', $domain_name, $dba["title"]);
Или вы можете использовать какой-нибудь шаблонизатор, например Twig или Smarty, и рассматривать значение вашей базы данных как шаблон, а свои переменные - как данные.